Latihan Soal Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

1. Diketahui luas lahan parkir di sebuah tempat hiburan 360 m^2. Sebuah mobil dan sebuah bus, masing-masing membutuhkan lahan 6 m^2 dan 24 m^2. Tentukan daerah penyelesaiannya!

2. Pak Hendra mempunayai 120 m bahan wol dan 80m bahan katun. Bahan-bahan itu akan dibuat 2 model pakaian. Setiap model pakaian A memerlukan 3m bahan wol dan 2m bahan katun. Model pakaian B memerlukan 2m bahan wol dan 2 m bahan katun. Tentukan himpunan penyelesaiannya! (dalam bentuk grafik)

3. Linda membeli 3 kue A dan 2 kue B di supermarket. Oleh karena itu, Linda harus membayar Rp3.400,00, sedangkan Wati membeli 2 kue A dan 3 kue B sehingga ia harus membayar Rp3.100,00. Jika harga sebuah kue A dan sebuah kue B masing-masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika dari masalah tersebut.

4. Seorang pengusaha sepeda ingin membeli sepeda balap dan sepeda gunung sebanyak 30 buah. Harga sebuah sepeda balap Rp.1500.000,00 dan sepeda gunung Rp.1750.000,00.Tentukanlah model matematikanya!
5. Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam pada mesin 1,dan 4 jam pada mesin 2. Barang B memerlukan 2 jam pada mesin 1 dan 8 jam pada mesin 2. Kedua mesin tidak dioperasikan lebih dari 18jam. Tentukan model matematikanya!

6. Seorang pemborong melakukan pemasangan instalasi listrik pada suatu perumahan. Untuk tipe 21, diperlukan 60 m kabel dan 5 lampu. Untuk tipe 36 diperlukan 150 m kabel dan 10 lampu. jika tersedia 5 km kabel dan 150 lampu,model matematika untuk permasalahan tersebut adalah....

7. PT. Samba Lababan memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin, yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit per hari.Model matematikanya adalah...

8. Lia ingin membuat puding buah dan es buah. Untuk membuat puding buah, ia membutuhkan 3 kg mangga dan 2 kg melon. Sedangkan untuk membuat es buah, ia membutuhkan 1 kg mangga dan 4 kg melon. Lia memiliki persediaan 11 kg mangga dan 14 kg melon. Buatlah model matematika dari persoalan ini!

9. Seseorang siswa akan menyelesaiakan sejumlah soal yang terdiri dari soal tipe A dan tipe B. Untuk menyelesaikan satu soal tipe A memerlukan waktu 4 menit dengan sekor 6. sedangkan untuk menyelesaikan satu soal tipe B memerlukan waktu 6 menit dengan sekor 8. jumlah semua soal 12 dan waktu yang tersedia 60 menit. Sistem pertidaksamaan kasus tersebut adalah....

10. Pak Bakri berjualan es krim keliling. Ia berjualan menggunakan gerobak kayuh. Es krim yang dapat dijualnya adalah es krim kerucut dengan harga Rp. 3000,00 dan es krim batang dengan harga Rp.2.000,00. Jika gerobaknya hanya dapat menampung 500 es krim dan hasil penjualan maksimumnya adalah Rp.1.700.000,00. Sistem pertidaksamaan kasus tersebut adalah.....

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :

ax+by>c

ax+by<c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan a≠0,b≠0 .

Suatu penyelesaian dari pertidaksamaan linear biasanya digambarkan dengan grafik, adapun langkah-langkah dalam menggambar grafik pertidaksamaan linear yaitu sebagai berikut :

1. Ubah tanda ketidaksamaan menjadi persamaan

2. Tentukan titik potong koordinat kartesius dengan sumbu x dan sumbu y.

3. Gunakan titik uji untuk menentukan daerah penyelesaian.

4. Gambarkan grafiknya dan beri arsiran pada daerah penyelesaiannya.

Untuk lebih memahami tentang pertidaksamaan perhatikan beberapa contoh berikut :

contoh 1.

contoh 2.

contoh 3.

Gambarlah daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut untuk x, y anggota bilangan real.

–x + 8y ≤ 80
2x – 4y ≤ 5
2x + y ≥ 12
2x – y ≥ 4
x ≥ 0, y ≥ 0

Penyelesaian :
Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk persamaan dan gambarkan pada bidang koordinat





Selanjutnya uji titiknya untuk menentukan daerah penyelesaian. Dapat dengan cara substitusi atau dengan garis bilangan. Pada contoh kali ini menggunakan substitusi misalkan kita pilih titik (0,12)

Setelah titk tersebut disubstitusi menghasilkan pernyataan yang salah, sehingga daerah penyelesaiannya berlawanan dengan daerah yang mengandung titik (0,12).

Dengan cara yang sama untuk persamaan yang lain telah kita peroleh grafik sebagai berikut.
Daerah penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah daerah yang terkena seluruh arsiran, yaitu :
 
Unt

Latihan Soal SPLTV

1. Suatu perusahaan rumahan meminjam Rp 2.250.000.000,00 dari tiga bank yang berbeda untuk memperluas jangkauan bisnisnya. Suku bunga dari ketiga bank tersebut adalah 5%, 6%, dan 7 %. Tentukan berapa pinjaman perusahaan tersebut terhadap masing-masing bank jika bunga tahunan yang harus dibayar perusahaan tersebut adalah Rp 130.000.000,00 dan banyaknya uang yang dipinjam dengan bunga 5% sama dengan dua kali uang yang dipinjam dengan bunga 7%?

2. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut!

x	+	y	−	z	=	1
8x	+	3y	−	6z	=	1
−4x	−	y	+	3z	=	1

3. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut!

4. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan berikut!
 
5. Ali, Boneng, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku. Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus. Ali harus membayar Rp4.700,00. Boneng memblei sebuah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus. Boneng harus membayar Rp4.300,00. Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus. Carli harus membayar Rp7.100,00. Berapa harga untuk sebuah buku tulis, harga untuk sebuah pensil, dan harga untuk sebuah penghapus?

6.   Tiga orang  A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut telah memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyaknya kelereng A mula-mula  adalah ….
7. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 bukah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per kota pensil.
Banyak buku yang dibeli Ani adalah….










8. Sebuah pabrik pakaian akan memproduksi 3 jenis pakaian. Jenis 1 yaitu kemeja batik,jenis 2 kemeja seragam, jenis 3 kemeja kasual. Jenis 1 membutuhkan waktu 1 jam di mesin pemotong,2 jam di mesin penjahit dan 30 menit di mesin pengemas untuk mengerjakan 1 stel kemeja. Jenis 2 membutuhkan 30 menit di mesin pemotong,2 jam di mesin penjahit, dan 1 jam di mesin pengemas. Jenis 3 membutuhkan 2 jam di mesin pemotong,1 jam di mesin penjahit,dan 90 menit di mesin pengemas. Jika mesin pemotong tersedia selama 210 jam, mesin  penjahit 240 jam, dan mesin pengemas tersedia selama 195 jam, berapakah banyak baju yang dapat diproduksi untuk setiap jenis?

9. Trisna,ayah, dan kakek memanen tomat bersama-sama membutuhkan waktu 4jam. Jika ayah dan kakek memanen tomat akan selesai dalam waktu 6 jam. Jika Trisna dan ayah yang memanen akan selesai dalam waktu 8 jam. Berapa lamakah waktu yang dibutuhkan kakek jika ia memanen sendirian?

10. Tiga orang tukang cat, yaitu Joni, Deni, dan Ari bekerja bersama-sama dapat mengecat dalam waktu 10 jam. Pengalaman Deni dan Ari pernah bersama-sama mengecat dalam waktu 15 jam. Suatu hari ketiga tukang cat tersebut bekerja mengecat rumah selama 4 jam, setelah itu Ari pergi. Joni dan Deni memerlukan tambahan waktu 8 jam lagi untuk menyelesaikannya. Tentukan waktu yang dibutuhkan masing-masing tukang cat jika bekerja sendirian.

11. Sebuah bilangan terdiri dari 3 angka. Jumlah ketiga angka tersebut adalah 13. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka yang ketiga dikurang 5. Nilai bilangan itu sama dengan 17 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 8. Carilah bilangan itu!
 

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah sistem persamaan yang terdiri dari Tiga Variabel/Peubah.

-          Bentuk Umum SPLTV:

Bentuk umum SPLTV x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

dengan a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃,  d₁, d₂, d₃, Î R

Persamaan a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂, dan a₃x + b₃y + c₃z = d₃ merupakan persamaan di R³. Ketiga bidang tersebut dapat saling berpotongan di sebuah titik, sebuah garis, atau tidak berpotongan.

1)      Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa titik, maka SPLTV tersebut mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya (mempunyai penyelesaian tunggal), yaitu titik potong tersebut.

2)      Jika tiga bidang berpotongan dan perpotongannya berupa garis, maka SPLTV tersebut mempunyai tak hingga banyak penyelesaian, yaitu titik-titik pada garis potong ketiga bidang tersebut.

3)      Jika ketiga bidang tidak berpotongan sama sekali, maka SPLTV tersebut dapat digambarkan ke dalam tiga kemungkinan berikut ini.

 Dengan kata lain SPLTV ini tidak mempunyai anggota dalam himpunan Penyelesaiannya (himpunan Penyelesaiannya adalah himpunan kosong).

Secara aljabar, penyelesaian SPLTV dapat dicari dengan beberapa cara/metode antara lain:

1)      Metode substitusi

2)      Metode gabungan/kombinasi eliminasi dan substitusi

3)      Metode determinan (dipelajari dalam materi matriks)

1.      Menyelesaian SPLTV dengan Metode Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode substitusi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1)      Pilihlah salah satu persamaan yang paling sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

2)      Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah pertama (1) ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga diperoleh SPLDV.

3)      Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah kedua (2)

Contoh:

1)      Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan substitusi

x + y + 2x = 9 ……….. (1)

2x + 4y – 3z = 1 …….. (2)

3x + 6y – 5z = 0 …….. (3)

Jawab:

-          Dari persamaan (1), kita dapatkan x = 9 – y – 2z ……….. (4)

-          Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3)

2(9 – y – 2z) + 4y – 3z = 1

ó 2y – 7 z = -17 ………………………………………………. (5)

Dan

3(9 – y – 2z) + 6 – 5z = 0

ó 3y – 11z = -27 ……………………………………………….(6)

Sehingga diperoleh SPLTV berikut ini.

2y – 7z = -17 …………………………………………………     (5)

3y – 11z = -27 ………………………………………………..     (6)

Selanjutnya, kita dapat mencari nilai y dan z dengan cara substitusi seperti pada SPLDV.

-          Dari persamaan (5) diperoleh: y =  …………………. (7)

-          Substitusi persamaan (7) ke persamaan (6)

ó -51 + 21z – 22z = -54

ó -z = -3

ó z = 3

-          Kemudian nilai z = 3 disubstitusikan ke persamaan (7), diperoleh nilai y = 2

-          Substitusikan y = 2 dan z=3 ke persamaan (4) diperoleh nilai x= 1.

Jadi SPLTV tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu (1,2,3) atau Himpunan Penyelesaiannya adalah {(1,2,3)}.

2)      Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

2x + y – z = 2 ………… (1)

x – 2y + 3z = 1 ……….. (2)

3x – y + 2z = 3 ……….. (3)

Jawab:

Misalkan substitusi dimulai pada variabel z terlebih dahulu (persamaan yang paling sederhana).

-          Dari persamaan (1) diperoleh: z = 2x + y – 2 …………….. (4)

-          Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:

x – 2y + 3(2x + y – 2) = 1

ó 7x + y = 7 ………………………………………………….. (5)

            Dan

     3x – y + 2(2x + y – 2) = 3

ó 7x + y = 7 ………………………………………………….  (6)

-          Persamaan (5) sama dengan persamaan (6), sehingga dari kedua persamaan ini dapat kita peroleh nilai satu peubah sebagai fungsi dari peubah yang lain, misalnya:

y = 7 – 7x ………………………………………………………. (7)

-          Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (4), maka diperoleh:

z = 2x + (7 – 7x) – 2

z = -5x + 5

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah:

x = x

y = 7 – 7x

z = 5 – 5x

Penyelesaian dari SPLTV ini banyak sekali, tergantung pada nilai x yang kita tentukan, misalnya.

Ø  Jika x = 1, maka y = 0 dan z = 0 atau

Ø  Jika x = 0, maka y = 7 dan z = 5 atau

Ø  Jika x = -1, maka y = 14 dan z = 10 dan seterusnya

Dengan kata lain SPLTV ini mempunyai tak hingga banyak anggota dalam Himpunan Penyelesaiannya.

Cara lain

-          Persamaan (5) sama dengan persamaan (6): berarti persamaan yang satu merupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak anggota.

3)      Tentukan penyelesaian dari SPLTV dengan substitusi

x + 2y – 3z = -1 …………………………………………………. (1)

3x - y + 2z = 7 …………………………………………………… (2)

5x + 3y – 4z = 2 …………………………………………………. (3)

Jawab:

-          Misalkan substitusi dimulai pada variabel x, dari persamaan (1) diperoleh:

x = -2y + 3z – 1 ……………………………………………….. (4)

-          Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (2) dan (3) diperoleh:

3(-2y + 3z – 1) – y + 2z = 7

ó -7y + 11z = 10 …………………………………………….. (5)

     dan

      5(-2y + 3z – 1) + 3y – 4z = 2

ó -7y + 11z = 7 ………………………………………………. (6)

Persamaan (5) dan (6) menyatakan bahwa SPLDV tersebut tidak konsisten sehingga SPLTV tidak mempunyai penyelesaian.

2.      Menyelesaian SPLTV dengan Metode Eliminasi Substitusi

Untuk menentukan penyelesaian/himpunan penyelesaian SPLTV dengan metode eliminasi, langkah-langkahnya sebagai berikut:

1)      Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga diperoleh Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLTV).

2)      Selesaikan SPLTV yang diperoleh dari langkah (1)

3)      Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada langkah-langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lainnya.

Contoh:

1)      Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + y + 2z = 9 ………………. (1)

2x + 4y – 3z = 1 ……………. (2)

3x + 6y – 5z = 0 ……………. (3)

Jawab:

-          Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

x + y + 2z = 9              | x 3 ó 3x + 3y + 6z = 27

2x + 4y – 3z = 1          | x 2 ó 4x + 8y – 6z = 2   +

                                                 7x + 11y       = 29 ……………..(4)

-          Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan:

2x + 4y - 3z = 1           | x 5 ó 10x + 20y - 15z = 5

3x + 6y – 5z = 0          | x 3 ó 9x + 18y – 15z  = 0   _

                                                  x +  2y              = 5 ………….. (5)

-          Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu:

   7x + 11y = 29 …………… (4)

    x + 2y    = 5 …………….. (5)

-          Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y

7x + 11y = 29              | x1      ó 7x + 11y = 29

x  + 2y    = 5                | x7      ó 7x + 14y = 35 _

                                                            -3y   = -6

                                                                y  = 2

-          Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x

7x + 11y = 29              | x2      ó 14x + 22y = 58

  x +  2y  = 5                | x11    ó 11x + 22y = 55 _

                                                3x           = 3

                                                x             = 1

-          Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling sederhana (misal persamaan (1)) sehingga diperoleh nilai z

     x + y + 2x = 9

ó 1 + 1 + 2z = 9

                  2z = 6

                    z = 3

\ Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau
(1, 2, 3)

Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)}

2)      Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi

2x + y – z = 2 ……………… (1)

x – 2y + 3x = 1 …………….  (2)

3x – y + 2z = 3 …………….. (3)

Jawab:

-          Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)

2x + y – z = 2  | x3      ó 6x + 3y – 3z = 6

x -  y + 3z = 1  | x1      ó   x - 2y + 3z  = 1  +

                                         7x + y           = 7   ……………….. (4)

-          Eliminasi z dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)

2x + y – z =  2 | x2      ó 4x + 2y – 2z = 4

3x - y + 2z = 3 | x1      ó 3x -   y + 2z  = 3  +

                                         7x + y           = 7   ……………….. (5)

-          Terlihat bahwa persamaan (4) sama dengan persamaan (5) sehingga kita peroleh nilai satu variabel yang merupakan fungsi dari variabel yang lain, yaitu y = 7 – 7x.

-          Substitusikan nilai y = 7 – 7x ke persamaan (1), diperoleh:

2x + (7 – 7x) – z = 2

ó                    z = -5x + 5

\ Penyelesaian SPLTV tersebut adalah:

x = x

y = -7x + 7

z = -5x + 5

Dengan kata lain, SPLTV ini mempunyai banyak penyelesaian tergantung pada nilai variabel x yang kita tentukan.

Cara Lain

Persamaan (4) sama dengan persamaan (5), berarti persamaan yang satu mrupakan kelipatan dari persamaan yang lain, maka himpunan penyelesaiannya mempunyai tak hingga banyak anggota.

3)      Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan Eliminasi

x + 2y – 3z = -1 …………. (1)

3x - y +  2z = 7 ………….  (2)

5x + 3y – 4z = 2 ………… (3)

Jawab:

-          Eliminasi x dari persamaan (1) dan (2) diperoleh persamaan (4)

x + 2y – 3z = -1           | x3      ó 3x + 6y – 9z = -3

3x – y + 2z = 7            | x1      ó 3x – y +  2z  =  7 _

                                                            7y – 11z = -10 ………… (4)

-          Eliminasi x dari persamaan (1) dan (3) diperoleh persamaan (5)

x + 2y – 3z = -1           | x5      ó 5x + 10y – 15z = -5

5x + 3y + 2z = 2          | x1      ó 5x + 3y -  4z     =  2 _

                                                            7y – 11z = -7 ………..… (5)

-          Persamaan (4) dan persamaan (5) menyatakan bahwa persamaan tersebut tidak konsisten (sesuatu yang tak mungkin terjadi), sehingga dapat dikatakan bahwa SPLTV tersebut tidak mempunyai penyelesaian.